Pessoa física com “nome sujo” pode abrir empresa?

Não há impedimento algum em constituir empresa, seja sozinho ou com mais sócios, tendo o nome com restrições em órgãos de proteção ao crédito.
Porém, se você pretende buscar empréstimo ou algum tipo de financiamento no mercado financeiro, provavelmente não terá êxito, ou se surpreenderá com taxas elevadas. Isso porque as instituições financeiras pesquisam o histórico da empresa e de seu(s) sócio(s), e muitas vezes os fornecedores também, para vender a prazo.
Mesmo que não pretenda inicialmente trabalhar com capital de terceiros, nunca se sabe se em algum momento haverá uma boa oportunidade para alavancar seu negócio, e nesse caso não terá como concretizar.
Sendo assim, o correto seria regularizar seu CPF para manter a saúde financeira, tanto da sua pessoa física, como da empresa, em uma eventual necessidade.